বর্গমূল সমাচার এবং x & y এর ভালোবাসা-১

[তুমি সম্বোধনের জন্য স্যরি]

স্কয়ার রুট বীজগণিতের একটা খুবই ইম্পর্ট্যান্ট বিষয়।হরহামেশাই আমরা এটা ব্যবহার করে থাকি।কিন্তু কথা হচ্ছে আমরা এটা যেভাবে ব্যবহার করি,অনেকক্ষেত্রেই উত্তর ঠিক হলেও সঠিক প্রসেসটা আমরা জানি না।আমরা যে প্রায়ই 1=2 প্রমাণ করি,সেগুলোতে বেশিরভাগ সময়ই রুট এর অবৈধ ব্যবহার হয়। আজকে সেসব বৈধতা অবৈধতা নিয়ে কথা হবে।আরও কথা হবে,কখনো কখনো  y আর x সমান দেখা গেলেও,তারা একচুয়ালি সমান হয় না-সেই নিয়ে।

প্রথমে একটা প্রশ্ন দিয়ে শুরু করা যাক। √25  এর মান কতো?আমরা বেশিরভাগই  হয়তো বলবো-প্লাস মাইনাস 5।কারণ,বর্গমূল হচ্ছে বর্গের উল্টা অপারেটর।যেহেতু এবং তাহলে √25 এর মান হওয়া উচিত । কিন্তু,একচুয়ালি √25. এর মান শুধু +5। কিন্তু কেন?

দ্বিতীয়ত,একটা নর্মাল ইকুয়েশন সলভ করি।

হলে, x = কত?

আমরা যারা বীজগণিত করেছি, তারা প্রায়ই এই টাইপ জিনিস পাই।এবং উত্তর হিসেবে আমরা বলি প্লাস মাইনাস 5! এবং এটাই কারেক্ট।কারণ,+5 এবং -5 দুটোরই বর্গ করলে 25 আসবে।কিন্তু আমরা যদি আগের ব্যাপারটা মেনে নিই,তাহলে মান শুধু +5 আসার কথা।কিন্তু এই সমীকরণের আন্সার আসলেই প্লাস মাইনাস 5।কারণ,কোনো সমীকরণের চলকের হাইয়েস্ট পাওয়ার যতো,মূলও ঠিক ততগুলোই হবে।তাহলে,এই দুই ঘটনার সমস্যা কোথায়?

আমরা আগে অঙ্কটা করিঃ

=>

=> 

অনেকে সাইড নোট লেখি উভয়পক্ষে বর্গমূল করে।কিন্তু প্রথম ক্ষেত্রে আমি বলেছিলাম √25 এর  মান +5।তাহলে এই সমীকরণ এর সমাধান -5 আসলো কিভাবে?একটা জিনিস মনে রাখা ভালো -কোনো একটা সমীকরণে চলকের হায়েস্ট পাওয়ার যতো,অই সমীকরণের মূল ততটি হবে।তাহলে এই সমীকরণের ও মূল দুইটি থাকা উচিত।তাহলে -5 গেলো কই?এখন দুটো বিষয়ই ক্লিয়ার করা যাক।

বীজগণিতে √ এই চিহ্নটার নাম প্রিন্সিপাল স্কয়ার রুট। এবং গণিতবিদরা এটাকে এভাবেই সংজ্ঞায়িত করেছেন যে, এটা শুধু ধনাত্মক মান দেবে। Fundamental Theorem of Algebra অনুযায়ী, সুতরাং,√25 এর মান শুধু +5। কখনোই -5 নয়।

এখন অই ইকুয়েশনে ফিরে আসি।

=>|x| = 5 [ উভয় পক্ষে বর্গমূল করে]

এখন আমরা যদি মডুলাসের ধর্ম জানি তাহলে দেখবো যে,মডুলাসের ভেতর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যেই সংখ্যাই দেই না কেন তা ধনাত্মক মান দেয়। তাহলে মডুলাসের ভেতর  আমরা +x বা -x যাই দেই,মান আসবে 5। তাহলে, আমরা লিখতে পারি, x=5 এবং -x =5 বা, x=-5। এখন আমরা -5 ও পেলাম।সুতরাং আমরা বলতে পারি, হলে,x = +5 অথবা -5। ক্লিয়ার?

এই জিনিসটা আরেকভাবে দেখা যাক।

=>

=>

=>

সুতরাং,x-√25=0 অথবা, x+√25=0

           x=√25  অথবা, x=-√25

          =>x=5   অথবা, =>x=-5

এভাবেও,আমরা x এর মান প্লাস মাইনাস 5 দুটোই পেলাম।দেখো,এখানে √25 এর মান কিন্তু আমি শুধু পজিটিভ  5 ই ব্যবহার করেছি।দুইটা ঘটনা এখন ক্লিয়ার?কিন্তু আমার কথায় বিশ্বাস করতে হবে কেন? এই জিনিসটা ছবিতেও খুব সুন্দরভাবে দেখা যায়।সেজন্য আগে পড়তে হবে x ও y এর ভালোবাসা।

প্রথমে আমরা একটা গ্রাফ আঁকবো। সমীকরণ  হবে

... (1)

গ্রাফটা হবে একটা মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।x এর মান আমরা যাই দেই না কেন y এর মান তাই পাবো। প্রথম ছবিটা দেখো। ফাইন।

      

এবার আসি দ্বিতীয়  গ্রাফে। সমীকরণ হচ্ছে-

...(2)

দেখি,

x=0, y=0

x=-1, y=1

x=-2, y=2

x=1, y=1

x=2, y=2

............

মানে,আমরা x যাই না কেন? y পাবো সেটার পজিটিভ ।এবং গ্রাফ হবে V আকৃতির। এবং সরলরেখাগুলো অসীমের দিকে ছুটবে। দ্বিতীয় ছবিটা দেখো।

তারমানে, y=x [যেখানে ডোমেন ℝ এবং রেঞ্জ ℝ] এবং y =√(x^2)[যেখানে ডোমেন ℝ কিন্তু রেঞ্জ ℝ+]এর গ্রাফ একইরকম না। তারমানে । কারণ,দ্বিতীয় ক্ষেত্রে y এর নেগেটিভ  মান আসে না। তারমানে এর মান নেগেটিভ হতে পারে না।এখন ছবিটা দেখে বোঝা যাচ্ছে!রাইট?

চলো,আরেকভাবে দেখি।

এবার আমরা আরেকটা গ্রাফ আঁকবো।সমীকরণ হচ্ছে

y=|x|... (3)

এখন, 

x=0,y=0

x=-1,y=1

x=-2,y=2

x=1,y=1

x=2,y=2

..........

এগুলো গ্রাফে ইনপুট দিলে  আমরা দ্বিতীয় গ্রাফের মতো সেইম একটা V আকৃতির গ্রাফ পাবো।তৃতীয় ছবিটা দেখো।এখন,দ্বিতীয় আর তৃতীয় গ্রাফ যেহেতু একদম একই তাহলে,আমরা বলতে পারি

বুঝেছো? তারমানে এই তিনটা ইকুয়েশন দিয়ে আমরা এতটুকু ক্লিয়ারলি বলতে পারি যে,

এবং তাহলে এতক্ষণ পেচালের পড়ে আমরা এই দুইটা সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে,

১. রুট করলে আমরা সবসময় পজিটিভ ভ্যালু পাবো।

২. এবং সমীকরণ থেকে আমরা পজিটিভ নেগেটিভ দুইটাই পেয়েছি। সেটা কিন্তু বর্গমূল থেকে নয়। কিভাবে পেয়েছি সেই নিয়েই এতক্ষণ বললাম।

তারমানে আমরা সচরাচর যে বলি তা কিন্তু ঠিক না। রাইট? এরকম আরো কিছু কেইসে ঘটতে পারে।সেগুলোও দেখা যাক।

ধরি,...(4) এখন গ্রাফ আঁকবো।

x=0,y=0

x=1,y=1

x=2,y=2

কিন্তু দেখো,বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে চিন্তা করলে,এক্ষেত্রে কিন্তু আমরা নেগেটিভ ইনপুট দিতে পারবো না। রুটের ভেতরে নেগেটিভ ইনপুট করলে বাস্তব সংখ্যার ফিল্ডে সেটা অবৈধ। তার মানে এর ডোমেন ℝ+। তাহলে এই ফাংশানটার গ্রাফ হবে একটা সরলরেখা যেটা শুধু প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।চতুর্থ ছবিটা দেখো। 

তাহলে, এর গ্রাফ কিন্তু মোটেও y=x এর মতো না। তার মানে,

এরকমভাবে, যেকোনো জোড় পাওয়ারের জন্য এটা সত্য হবে।কিন্তু,যেকোনো বিজোড় পাওয়ারের জন্য উল্টোটা সত্য হবে।মানে, হবে, যদি n বিজোড় হয়। এখানে n তম মূল বোঝানো হয়েছে।কেন এমন হয়? তা নিজেরা চিন্তা করে বের করো।

আজকের পর্ব এতটুকুই। আগামী পর্বে থাকবে রুটের আরও কিছু বৈধ ব্যবহার, যেখানে আমরা প্রায়ই সেগুলো অবৈধভাবে ব্যবহার করি। এবং y এবং x এর ত্রিকোনমিতিক ভালোবাসার কথা।যেমন : হলেই y=x হয় না।সবাইকে থ্যাংকস।