শূন্য দিয়ে ভাগ!

শূন্য দিয়ে ভাগ!!

ক্লাস টুয়ে যখন আমরা ভর্তি পরীক্ষা দেই,তখন প্রশ্ন দিতঃ কোনো সংখ্যাকে শূন্য দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?আমরা উত্তর লিখতামঃ শুন্য দ্বারা কোনো সংখ্যাকে ভাগ করা যায় না।তখন না বুঝেই লিখতাম-এখন আমরা অনেকেই জানি,শূন্য দ্বারা কোনো সংখ্যাকে ভাগ করলে ভাগফল অসংজ্ঞায়িত বা অসীম বলা হয়।কিন্তু এখানে,একটা ছোট্ট মিসকন্সেপশান আছে।আজ শুরু থেকে পুরোটা জিনিস ক্লিয়ার করা যাক।

মনে করি,একটা ফাংশন f(x)=1/x।(শুধু 1 না,লবে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা বসালেও চলবে)অর্থাৎ, ফাংশনে কিছু একটা ইনপুট দিলে তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যা পাওয়া যায়।এখন,

x=1,f(x)=1

x=0.5,f(x)=2

x=0.33333....,f(x)=3

x=0.25,f(x)=4

........................

x=0.025,f(x)=40

x=0.0025,f(x)=400

x=0.00025,f(x)=4000

ওকে,অনেক দিয়েছি।তোমরা x=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001 দিতে থাকো।কি দেখা যায়?x এর মান আমরা যতই শূন্যের কাছাকাছি নিচ্ছি,f(x) এর মান ততই বড় হচ্ছে।শূন্যের একেবারে কাছাকাছি চলে গেলে মান অসীমের কাছাকাছি চলে যায়। এইটাকে এভাবে লেখা যায়ঃ

lim(x→0), f(x)→∞

ধরো,তোমার কাছে একটা 1 মিটার লম্বা লাঠি আছে।তুমি এইটাকে 10 টা ভাগে করলে প্রতিটা ভাগ হবে 0.1 মিটার।যদি 100 টা ভাগ করো, বা 1000 টা বা আরও বেশি।

1/10=0.1

1/100=0.01

1/1000=0.001

1/10000=0.0001

1/100000=0.00001

...........

এখানে কি হচ্ছে?আগের কাহিনীর উল্টোটা হচ্ছে!রাইট?মানে তুমি যত বেশি টুকরা করছো,টুকরার দৈর্ঘ্য ততই শূন্যের দিকে আগাচ্ছে।মানে,

lim(x→∞), f(x)→0

উল্টো ঘটনাও আগের মতো সত্যি।মানে,টুকরার দৈর্ঘ্য যতই ছোট হবে,টুকরার সংখ্যা ততই বেশি হবে।

এই কথাবার্তার আল্টিমেট রেজাল্ট আমরা পাচ্ছিঃ

আমরা যতই কোনো সংখ্যাকে শূন্যের কাছাকাছি কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করছি,সেটা ততই অসীমের দিকে আগাচ্ছে।x যদি ঋণাত্মক মান থেকে 0 এর দিকে আগাতো,তবে ফাংশনের লিমিটের মান ঋণাত্মক অসীমের দিকে আগাতো।সেইটাও করে দেখো।এই পর্যন্ত ঠিক থাকলে সমস্যা ছিল না।

বাট,আমরা এখানে সবসময় শূন্যের কাছাকাছি নিয়ে কথা বলেছি।একেবারে শূন্য করিনি।একেবারে শূন্য করলে কি হবে?

আগের লাঠির কথায় আসি।লাঠির সবগুলা ছোট ছোট টুকরা একসাথে যোগ করে কিন্তু আমরা পুরো লাঠিটা আবার ফেরত পাবো।যেমনঃ

0.1×10=1

0.01×100=1

0.001×1000=1

0.0001×10000=1

..........

মানে টুকরা দৈর্ঘ্য যতই ছোট হোক,তত বড় সংখ্যা দিয়ে (টুকরার সংখ্যা) গুণ করে আমরা পুরোটা ফেরত পাচ্ছি।কিন্তু,যদি আমরা টুকরার দৈর্ঘ্য শূন্য করে ফেলি,তবে টুকরার সংখ্যা যতই হোক না কেন,গুণফল আসবে শূন্য।যেমনঃ 

0×10=0

0×100=0

0×1000=0

0×10000=0

..............

মানে কি দাঁড়ালো?এই বিষয়টার কোনো সিগনিফিক্যান্স নেই।আগেই আমরা দেখেছি,শূন্যের কাছাকাছি আগালে ফাংশনের ভ্যালু অসীমের দিকে আগায়।ধরো,মান শূন্য হয় গেলে ফাংশানের মানও অসীম হয়ে যায়।তাহলে,এমনটা হওয়া উচিতঃ

0×∞=1

কিন্তু, 0×∞ একটা অনির্ণেয় আকৃতি।এর একচুয়াল মান 1,2,3,4,5..... যা খুশি হতে পারে।লিমিটের মান এক্ষেত্রে 1  আসবে।কারণ,লিমিটের ক্ষেত্রে কখনোই x কে 0 করে ফেলা হয় না।x→0 বলা হয়।সুতরাং,x এর মান শূন্য করে ফেললে এই ফাংশানের অস্তিত্ব থাকবে না।তখন এইটাকে বলা হবে "অসংজ্ঞায়িত"!তাহলে,এই দুই ঘটনার রেজাল্ট আল্টিমেটলি বলা যায়:

1.কোনো সংখ্যাকে আমরা যতই শূন্যের খুবই খুবই কাছাকাছি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে থাকি,তখন ভাগফলও অসীমের কাছাকাছি যেতে থাকে।
2.আর ভাজ্যকে এক্সাক্ট শূন্য দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয়ে যায় অসংজ্ঞায়িত।

[নোটঃঅসীম কোনো সংখ্যা না।একটা ধারণা।এক্সাক্ট অসীম বলতে কিছুই নেই।সবক্ষেত্রেই  টেন্ডস টু ইনফিনিটি মানে অসীমের কাছাকাছি -যাকে বলে লিমিটিং ভ্যালু বা প্রান্তীয় মান।]

তবে,এইটা মনে রাখা উচিত,অসংজ্ঞায়িত আর অনির্ণেয় কখনোই এক না।আগামী পর্বে অনির্ণেয়র কথা লিখবো।