দুইটি ভেক্টরের ডট গুণনে cos আসে কেন?

 দুইটা ভেক্টরের ডট গুণনে cosθ আসে কেন? এই প্রশ্ন থাকে অনেকেরই।আজকে সেটার একটা সহজ ব্যাখা দেই।

ধরি, কার্তেসীয়ান তলে,  a ও b  দুইটা ভেক্টর। a ভেক্টরের সাথে x অক্ষের ধনাত্মক দিকের  কোণ α এবং  b ভেক্টরের সাথে x অক্ষের ধনাত্মক দিকের কোণ β, এবং a  ও b  এর মাঝের কোণ,θ=β−α

 

Let,a  =(x1,y1)

=(acosα,asinα)

Let, b =(x2,y2)

=(bcosβ,bsinβ)

আমরা, a ও b ভেক্টরকে আনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশে ভেঙেছি। তাহলে, x আর y অক্ষ বরাবর উপাংশগুলোর গুণফল থেকেই আমরা তাদের Dot Product পেয়ে যাবো।

তাহলে,

a∘b 

=x1x2+y1y2

=ab cosαcosβ+ab sinαsinβ

=ab(cosαcosβ+sinαsinβ)

=abcos(β−α)

=abcosθ

সুতরাং, আমরা পেয়ে গেছি, a ও b

এই দুই ভেক্টরের Dot Product হবে abcosθ ।